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\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie \\
		\normalsize Blatt 2 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{TutorIn:} Mein(e) Lieblingstutor(in)
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}

	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~17 vorausgesetzt.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 2.1} \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $K$ ein Körper, $L/K$ eine separable Körpererweiterung des Grades $n:=[L:K]\in\N$, $\alpha\in L$ und
	$K\subseteq E \subseteq L$ eine Zwischenkörpererweiterung. Zeigen Sie $\mathrm{Sp}_{L/K}(\alpha)=\mathrm{Sp}_{E/K}\left(\mathrm{Sp}_{L/E}(\alpha)\right)$. \\
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 2.2} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}	
	\\[3pt] Sei $K$ ein Körper, $L/K$ eine endliche separable Körpererweiterung des Grades $n:=[L:K]\in\N$, $\Omega$ die normale Hülle von $L/K$, $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ die paarweise verschiedenen $K$-Einbettungen von $L$ in $\Omega$, $\{v_1,\ldots,v_n\}$ eine Basis von $L/K$, $\mathbb{B}$ bezüglich dieser Basis eine Matrixdarstellung von $B_{L/K}$ und $\mathcal{V}:=(\mathcal{V}_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ definiert durch $\mathcal{V}_{ij}:=\sigma_i(v_j)$ für $i,j\in\{1,\ldots,n\}$. 
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Beweisen Sie $\det(\mathbb{B})=(\det\mathcal{V})^2$.
		\item Folgern Sie, dass $B_{L/K}$ nicht-ausgeartet ist.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:}
	 
	 \
	 
	 \textbf{Aufgabe 2.3} \hfill 	\textbf{[0,5+1+2,5 Punkte]}	
	 \\[3pt] Sei $R$ ein ganz abgeschlossener Integritätsbereich, $K:=\mathrm{Quot}(R)$ der Quotientenkörper von $R$, $L/K$ eine endliche separable Körperweiterung des Grades $n:=[L:K]\in\N$, $S:=\overline{R}^L$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ und $\{v_1,\ldots,v_n\}\subseteq S$ eine Basis von $L/K$. Betrachten Sie die Mengen
	 $$M:=\sum\limits_{i=1}^n Rv_i \mathrm{\ und\ } M^\prime:=\left\{\alpha\in L\mid \forall \gamma\in M\colon\mathrm{Sp}_{L/K}(\alpha\gamma)\in R\right\}.$$
	 \begin{enumerate}[(a)]
	 	\item Beweisen Sie, dass $M$ ein freies $R$-Moduln der Dimension $n$ ist.
	 	\item  Beweisen Sie, dass $M^\prime$ ein $R$-Modul ist.
	 	\item Zeigen Sie $M\subseteq S \subseteq M^\prime$.
	 \end{enumerate}
	 
	 \textbf{Lösung:} 
	 
	 \newpage
	
	\noindent\rule[1ex]{\textwidth}{1pt}

	\textbf{Definition} \\
	Sei $f\in\Q[x]$ ein irreduzibles Polynom des Grades $n\in\N$ und $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ alle Nullstellen von $f$ mit Vielfachheiten. Die \textbf{Diskriminante von $\boldsymbol{f}$} ist $D(f):=\prod\limits_{i<j}(a_i-a_j)^2.$
	
	\noindent\rule[1ex]{\textwidth}{1pt} \\
	
	\textbf{Aufgabe 2.4*} \hfill 	\textbf{[0,5+0,5+0,5+1+1+0,5 Punkte]}	
	\\[3pt] Sei $f(x):=x^3+ax^2+bx+c\in\Q[x]$ ein allgemeines irreduzibles Polynom des Grades $3$ mit Koeffizienten $a,b,c\in\Q$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Betrachten Sie das Polynom $g(x):=f\left(x-\frac{a}{3}\right)\in\Q[x]$. 
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Bestimmen Sie $g$.
			\item Benennen Sie den Zusammenhang zwischen dem Zerfällungskörper von $f$ und dem Zerfällungskörper von $g$. Beweisen Sie Ihre Behauptung.
			\item Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Diskriminante von $f$ und der Diskriminante von $g$? Begründen Sie.
		\end{enumerate}
		\item Seien nun $\alpha,\beta,\gamma$ alle Nullstellen von $g$ in einem Zerfällungskörper von $g$. Beweisen Sie $$D(g)=-g^\prime(\alpha)g^\prime(\beta)g^\prime(\gamma).$$
		\item Drücken Sie die Diskriminante $D(g)$ in Abhängigkeit der Koeffizienten von $g$ aus.
		\item Folgern Sie einen Ausdruck für die Diskriminante $D(f)$ in Abhängigkeit der Koeffizienten $a,b,c$ von $f$.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} 
	
	\
		
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 01.\ Juli 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor / die Tutorin. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}